Usar seus bitcoin tanto faz no blockchain.info quanto no bitcoin core.
Recomendo não guardar seus bitcoin (sua privkey) em diferentes serviços.. isso só aumenta a chance de você sofrer um ataque e ser roubado..
Uma boa opção é sempre transferir ou transferir fundos e se desejar um backup ou segurança, sem sombra de dúvidas uma paperwallet é a melhor opçao.. deixa pouco rastro virtuais para ser haqueado.