Puedes exportar completamente el wallet de Bitcoin Core. Otra cosa es si el cliente donde quieres importarlo admite el formato de exportación de Bitcoin Core, que no lo sé.
Recomendaría hacer lo siguiente en Bitcoin Core:
1) Selecciona en el menú: Ayuda / Ventana de depuración. Después pulsa en la pestaña Consola.
2) En la caja de texto lanza el comando:
dumpwallet "miWalletSeguridad.txt"
que creará un fichero de texto de nombre miWalletSeguridad.txt con todas las direcciones, claves privadas y sus etiquetas.
3) Como importar todas las direcciones una por una en el nuevo cliente puede ser un peñazo, vamos a listar solo las direcciones que tienen al menos un output sin gastar. Para ello lanzamos el comando
. Con los valores asociados a la clave address de la salida de este comando, y el fichero obtenido del paso 2) , ya puedes importar las claves y etiquetas con saldo mayor que cero en el nuevo cliente.
Espero que haya servido, y si no, pregunta de nuevo.