L-am batut si am primit un
MARE...NIMIC! deci care e treaba cu jocul ?
Cum ai reusit sa-l bati? Ce tactica ai folosit?
Ceva simplu..
Daca o dreapta d este perpendiculara pe un plan \alpha si prin piciorul ei trece o dreapta a, continuta in plan, care este perpendiculara pe o alta dreapta b continuta in plan, atunci o dreapta c care uneste orice punct M al dreptei d cu intersectia P a celor doua drepte a si b, este perpendiculara pe cea de-a treia latura.
Cum aplicam Teorema celor trei perpendiculare
d\perp\alpha \\a\subset\alpha, O\in a
a\perp b, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in D
\Rightarrow MP\perp b
Acum cele doua reciproce sunt foarte importante deoarece putem afla distanta de la un punct la altul sau distanta de la un punct la un plan.
Reciprocele teoremei celor trei perpendiculare
R.T.3\perp 1
Cum aplicam prima reciproca a celor trei perpendiculare
d\perp \alpha, d\cap\alpha=\left\{O\right\} a\subset\alpha, O\in a, b\subset\alpha , a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d, MP\perp b\Rightarrow a\perp b
R.T.3\perp 2
Cum aplicam Reciproca a doua a celor trei perpendiculare
d\perp a, d\cap a=\left\{O\right\}, a\subset\alpha
a\perp b, a, b\subset\alpha, a\cap b=\left\{P\right\}, M\in d,
MP\perp b\Rightarrow d\perp \alpha
Rezolvam probleme in care aplicam teorema celor trei perpendiculare
1) Pe planul triunghiului isoscel ABC cu AB=AC=20 cm si BC=32 cm se ridica perpendiculara AP, cu AP=12\sqrt{3} cm. Aflati:
a) distanta de la punctul P la dreapta BC
b) distanta de la punctul A la planul (PBC).
cum aplicam teorema celor trei perpendiculare
Stim ca
AP\perp\left(ABC\right)
Construim AD\perp BC, deci prin piciorul dreptei BC trece o dreapta perpendiculara pe o alta dreapta, atunci rezulta ca AD\perp BC
AP\perp\left(ABC\right)
AD\perp BC, BC\subset \left(ABC\right), AD\cap BC=\left\{P\right\}\Rightarrow AD\perp BC
Am aplicat Teorema celor trei perpendiculare si astfel am gasit ca d\left( A, BC\right)=AD.
Acum aflam valoarea numerica a distantei
Cum Ad este inaltime, stim ca intr-un triunghi isoscel mediana, mediatoarea, bisectoarea si inaltimea coincid, deci observam ca AD este si mediana, astfel BD=\frac{BC}{2}\Rightarrow BD=\frac{32}{2}\Rightarrow BD=16 cm, acum aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul ABD pentru a afla AD
AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}\Rightarrow AD^{2}=400-256\Rightarrow AD^{2}=144\Rightarrow AD=\sqrt{144}\Rightarrow AD=12 cm.
Acum aplicam Teorema lui Pitagora in triunghiul PAD
PD^{2}=AP^{2}+AD^{2}\Rightarrow PD^{2}=\left(12\sqrt{3}\right)^{2}+12^{2}\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 3+144\Rightarrow PD^{2}=144\left(3+1\right)\Rightarrow PD^{2}=144\cdot 4\Rightarrow PD=\sqrt{144\cdot 4}\Rightarrow PD=12\cdot 2\Rightarrow PD=24 cm.
b)d\left(A, \left(PBC\right)\right)=
CUM CALCULAM DISTANTA DE LA UN PUNCT LA UN PLAN
Daca AE\perp PD, PD\subset \left(PDC\right), rezulta cu cea de doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare ca AE\perp \left(PBC\right), deci trebuie sa aflam pe AE, cum stim ca triunghiul PAD este dreptunghic in A, aplicam teorema inaltimii
AD=\frac{c_{1}\cdot c_{2}}{ipotenuza}\Rightarrow AD=\frac{12\sqrt{3}\cdot 12}{24}\Rightarrow AD=\frac{144\sqrt{3}}{24}=6\sqrt{3}.
Deci important sa intelegem atat teorema celor trei perpendiculare, dar si reciprocele teoremei celor trei perpendiculare pentru a putea reusii in
X si O
