changjia 在《不可能三角形：安全，环保，去中心化》
http://www.8btc.com/impossible-triangle 中认为POS的环保算因为持币较少的用户因为开机的电费大于分红所得，倾向于不开机，持币多的用户倾向于开机挖矿，财富慢慢向大用户集中，变成实质上中心化的结构。本文做了计算机模拟，发现用户的开机间隔有一个最佳值，如果用户选择多数时间不开机，总可以得到正收益的结果。多数情况下，收益率与持币量相关不大，就不会有中心化的趋势。电费非常贵的时候，虽然持币多的收益高，但省电对任何人来说都可以带来收益，最后会回到收益与持币量相关不大状态。该数字货尽管持币量小的开机时间叫少，但因为人数众多，总的开机次数可能多于持币多的人，可以保证网络安全。
假设这种数字货币仅仅用POS方式，按照初始持币量f0乘以开机间隔时间m计算“币天数”，开机需要消耗b枚货币并消耗掉所有的币天数，日利率r。
那么在n天的持币时间内，开机n/m次，每次开机获得利息f0mr，n天总计收益：f=f0(1+mr)^(n/m)-(n/m)b
对于一个持f0=100枚币的人来说，开机太频繁则耗电多，开机太少则损失复利收益，在年利率2%即r~2%/365、持币时间n=10年，每次开机能耗b=0.001枚，其收益按开机间隔的函数如图：
图1初始货币100枚、年利率2%、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的收益与开机间隔的关系
在间隔m=74.9天时收益达到最大值，收益为121.8。同时计算持币100，200，300，400的人，他们最优的持币天数分别为74.9，52.9，43.2，37.4天，收益率分别为1.21802、1.21831、1.21844、1.21851。如图
图2初始货币100、200、300、400枚、年利率2%、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的收益与开机间隔的关系
在更大持币量的范围来看，为最佳持币天数和收益率分别如图：
图3年利率2%、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的最佳开机间隔与持币量的关系
图4 年利率2%、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的最佳开机间隔收益与持币量的关系
从图中可以看到，最佳持币天数受持币量的影响很大，大约有平方根分之一的关系。而收益率几乎不随持币量变化。
图5初始货币100枚、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的收益与年利率的关系
图6年利率10%、持币时间10年、每次开机能耗0.001枚时的收益与持币量的关系
在上述条件下，收益率与利率有相关性，但是利率通常小于10%，否则数字货币不通胀的优势就体现不出来了。这种情况下，收益也变化不大。
图7初始货币100枚、年利率2%、每次开机能耗0.001枚时的收益与持币时间的关系
图8年利率2%、持币时间100年、每次开机能耗0.001枚时的收益与持币量的关系
同样在上述基本条件下，持币的时间对年化收益率的影响也不大。特别是在持币时间较短的时候，复利的作用看不出来，多持币也多不了多少，差别不大。实际上如果持币时间非常长，用户会倾向于缩短开机间隔时间以增加复利。
在收益与持币量关系不大的情况下，持币人不会特地放弃持币，这样可以让去中心化得以维持。但是耗能对收益影响很大，如图9。
图9初始货币100枚、年利率2%、持币时间100年时的收益与开机耗费的关系
图10年利率2%、持币时间1年、每次开机能耗1枚时的收益与持币量的关系
耗能对去中心化的影响最大。虽然有一个最优的开机间隔时间，但是如果整个持币周期内一次开机的耗费比利息还多，那么持币者就不开机，直到被迫使用数字货币。这样明显地造成了持币多的人钱越来越多，构成了changjia所说的中心化趋势。
好的方面是：从收益率vs开机耗费曲线中可以看到，耗能越小收益越多，在大家追逐高收益的时候，会尽量节省能耗。如果耗能是可调的，并且没有POW这种多耗能可以带来多收益的叠加作用，大多数人就趋向于减少耗能。曲线中耗费越大，收益减小越多，这样在大耗能的情况下，有新技术可以带来节能效果的，就可以赚到的钱越多，对不同持币量的人这种趋势都是一样的，于是整个社会向着节能的方向发展。
另一个问题是如果大家在很长时间内不开机，是否会对数字货币的安全造成影响？
我以前的研究发现，如果资源有限、存在竞争并且有随机扰动，那么竞争者占有资源的数量是幂率分布的，即x(r)=(a/r)^s，其中x是资源，r是排名，a>0、s>0。把这个函数看成货币拥有量x随排名r的话，反过来也可以把排名r看成持有货币x的函数，为r(x)=a x^(-1/s)。拥有的货币x的人排名还是r(x)，拥有的货币x+Δx的人的排名是r(x+Δx)，这个范围内的人数就是排名位次的差别，即r(x)-r(x+Δx)。因为持有货币的差别越大，人数就越多，如果把货币范围Δx除掉，用人数p表示成持有货币x的函数p=p(x)，则p(x)= (r(x)-r(x+Δx)) /Δx=-Δr/Δx，当Δx–>0时，p(x)= -dr/dx=a/s·x^(-1-1/s) 。
从前面我们知道最优的间隔时间可以用t=b/x^v来拟合，其中b>0、v>0，那么一天内开机的人次为p/t，开机总和的分布为 F(x)=a/(bs)· x^(v-1-1/s)。
当v>1+1/s 时F(x)这个函数都是递增函数，也就是说持币多的人总的开机时间长。当v<1+1/s 时F(x)这个函数都是递减函数，也就是说持币少的人总的开机时间长。
我们从图3的例子中，每次开机花钱0.001枚货币，v=0.5，这时不论s取什么值，F(x)都是递减函数。如果所有人为了自己的收益更多，都是在最优开机间隔开机，持币少的开机次数的总和大于持币多的人的开机总和，这样整个网络就是安全的。
最后图10例子中，每次开机花钱1枚货币，这时v=1.2，如果货币分布也比较集中，持币少的人开机次数少，加起来也不如持币多的人的持币总和，这样网络就就受少数人控制了。不过这时候持币多的人也不会胡作非为，否则把这个数字货币搞坏了，别人就转投其他数字货币了，对自己也没有好处。
评论：POS相当于股票。股票当然也可以去中心化，全民所有制。
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