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[usako]

Die Frage:
Du stehst in einer Fernsehshow vor drei Toren. Hinter zweien ist eine Niete versteckt, hinter einem eine 1000 BTC Wallet.
Nun wählst du eines der Tore, und der Showmaster öffnet eine andere Tür hinter der eine Niete steckt.
Jetzt hast du die Chance zu wechseln, oder bei deiner ursprünglichen Wahl zu bleiben. Was wäre besser?

So wie die Frage gestellt ist, ist die Lösung nicht eindeutig. Ob man wechseln sollte oder nicht, ist unklar.

Beispielsweise ist nichts darüber gesagt, ob der Kandidat vorher weiß, hinter welchem Tor sich der Preis versteckt. Angenommen, der Kandidat weiß, dass sich der Preis hinter Tor 1 verbrigt, und er wählt Tor 1. Daraufhin öffnet der Moderator Tor 2. Sollte der Kandidat nun wechseln? Natürlich nicht!

Aber selbst wenn wir davon ausgehen, dass der Kandidat nicht weiß, hinter welchem Tor sich der Preis verbirgt, ist die Lösung nicht eindeutig. Denn es wurde hier nichts über die Zufallsverteilung gesagt, die gewählt wurde um den Preis zu platzieren. Beispielsweise könnte der Preis zu 99% hinter Tor 1, und zu jeweils 0,5% hinter Tor 2 & Tor 3 sein. Dann sähe die optimale Strategie ganz anders aus.

Außerdem fehlt noch die Information, wie genau der Moderator vorgeht, nachdem der Kandidat ein Tor gewählt hat. Nach welcher Strategie öffnet er ein weiteres Tor? Ohne diese Information ist die Lösung ebenfalls nicht eindeutig.

Viel schwerer als das Rätsel zu lösen ist es wohl, es sauber zu formulieren. Man könnte es zum Beispiel so stellen:

Der Moderator wählt unter drei Toren eines zufällig und gleichverteilt aus, hinter dem er als einziges einen Preis versteckt. Der Kandidat weiß nicht, hinter welchem Tor der Preis ist, er weiß aber, dass das Tor zufällig und gleichverteilt gewählt wurde. Nun muss der Kandidat ein Tor auswählen. Daraufhin geht der Moderator folgendermaßen vor. Befindet sich hinter dem ausgewählten Tor der Preis, wählt der Moderator eines der verbleibenden Tore zufällig und gleichverteilt aus. Andernfalls wählt der Moderator das Tor unter den verbleibenden Toren aus, hinter dem sich der Preis nicht befindet. Der Moderator öffnet das von ihm ausgewählte Tor und bietet dem Kandidaten an, seine ursprüngliche Wahl zu wechseln. Im Erwartungswert, wird es sich für den Kandidaten lohnen zu wechseln?

Dann lautet die Antwort Ja. Denn beim Wechseln steigt die Wahrscheinlichkeit, den Preis zu bekommen von 1/3 auf 2/3.


@trasla:
"Es ist egal, ob der Moderator immer ein Tor mit Niete öffnet, oder immer Tor zwei. Es ist trotzdem besser zu wechseln, wenn das geöffnete Tor eine Niete enthält."

Nein. Wenn der Moderator immer Tor 2 öffnet, liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit immer bei 50%, wenn sich hinter Tor 2 kein Preis befindet, egal ob der Kandidat nun Tor 1 oder Tor 3 wählt. (Nur wenn sich der Preis hinter Tor 2 befindet ist es sinnvoll (auf Tor 2) zu wechseln).

"Was ist, wenn ein anderer Kandidat und ich jeweils ein Tor aussuchen durften, ich hab Nr 1, er hat Nr 3. Dann wird Nr 2 geöffnet und enthält eine Niete. Soll es jetzt etwa für uns beide besser sein, zu wechseln? Steigen für beide die Gewinnchancen, wenn sie Tore tauschen? "

Hier fehlt die Information, nach welcher Strategie der Moderator vorgeht.
Berücksichtigt er nur einen Spieler (und gelten weiter die von mir genannten Annahmen, i.e. zufällig gleichverteilte Auswahl usw.), ist es für beide Spieler sinnvoll zu dem Tor zu wechseln, welches der berücksichtigte Spieler nicht gewählt hat.

Berücksichtigt er beide Spieler oder keinen Spieler, ist Wechseln für jeden Spieler genau dann sinnvoll, wenn sich hinter dem geöffneten Tor der Preis befindet genau dann wenn das geöffnete Tor vom gewählten Tor verschieden ist.

[WonG.]

nc usako zu deiner korinthenkackerei... es ging nicht darum, das ganze hier juristisch eindeutig zu formulieren und nahezu jeder hat verstanden, dass es sich hierbei um ein "fallbeispiel" handelt. sprich, es ist irrelevant ob der showmaster IMMER tür 2 öffnet und ob IMMER eine niete herauskommt. in DIESEM EINEN fall wählt ein kandidat tür 1 und der showmaster öffnet daraufhin tür 2 mit einer niete, fertig. was in den anderen shows passiert ist absolut latte. klar ist, dass mit 2 spielern und 3 türen das mathespielchen nicht aufgehen kann, da dieses davon abhängig ist, dass der moderator aus zwei möglichen türen eine niete herauszieht. ginge es nun um 2 kandidaten und mehr als 3 türen, wäre das wieder anders.

Nein. Wenn der Moderator immer Tor 2 öffnet, liegt die Gewinnwahrscheinlichkeit immer bei 50%, wenn sich hinter Tor 2 kein Preis befindet, egal ob der Kandidat nun Tor 1 oder Tor 3 wählt. (Nur wenn sich der Preis hinter Tor 2 befindet ist es sinnvoll (auf Tor 2) zu wechseln).

1. kannst du tor 2 nicht wählen, wenn es bereits vom moderator geöffnet wurde (ja ich weiß, wurde explizit nicht gesagt, aber versteht sich von selbst. wo wäre sonst die spiellogik?)
2. wäre es ja sinnfrei tor 2 überhaupt zu haben, wenn es jedesmal geöffnet wird und jedesmal eine niete darin ist. ist auch insofern nicht möglich, denn was würde geschehen wenn der kandidat tor 2 wählen würde bevor er dieses öffnet? jedenfalls machst du aus einem spiel mit 3 toren ein spiel mit 2 toren. dass sich damit die verhältnisse der wahrscheinlichkeiten verändern ist klar. bei mehr türen in verbindung mit mehr runden steigt die wahrscheinlichkeit, solange der kandidat erst ganz zum schluss wechselt.

jedenfalls war dein beitrag fernab von konstruktiv und lenkt unnötig von der eigentlichen problematik ab.

[trasla]

jedenfalls war dein beitrag fernab von konstruktiv und lenkt unnötig von der eigentlichen problematik ab.

Und außerdem falsch

[usako]

nc usako zu deiner korinthenkackerei... es ging nicht darum, das ganze hier juristisch eindeutig zu formulieren

Ich bin kein Jurist, sondern Mathematiker. Deswegen bin ich es gewohnt, Dinge absolut eindeutig zu formulieren. Und dass jeder das so verstanden hat, wie du es verstanden hast, ist schon einmal falsch wie eure Diskussion mit einem User zuvor gezeigt hat, der das Rätsel anders aufgefasst hat (und nach seiner Auffassung auch richtig gelegen hat, wenn ich mich jetzt nicht falsch erinnere).

sprich, es ist irrelevant ob der showmaster IMMER tür 2 öffnet und ob IMMER eine niete herauskommt.

Nein, es ist durchaus relevant wie der Moderator sich verhält. Siehe dazu ein ähnliches Beispiel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem#Der_faule_Moderator

1. kannst du tor 2 nicht wählen, wenn es bereits vom moderator geöffnet wurde (ja ich weiß, wurde explizit nicht gesagt, aber versteht sich von selbst. wo wäre sonst die spiellogik?)

Wie du selbst gesagt hast, wurde das nirgends genannt. Es wieder Fantasie und nicht Teil des Rätsels.

Wir können das Spiel aber gerne erweitern um "Der Moderator öffnet immer Tor 2, und zu Tor 2 darf der Kandidant nicht wechseln, nachdem der Moderator es geöffnet hat." Wie ist nun die optimale Strategie? (Erst Tor 2 wählen. Öffnet der Moderator Tor 2, und befindet sich dahinter der Preis, bleibt man bei der Wahl. Befindet sich dahinter kein Preis, wechselt man, egal ob zu Tor 1 oder Tor 3. Wer kann mir sagen wie groß die Gewinnwahrscheinlichkeit mit dieser Strategie ist?)

@trasla:

"Und außerdem falsch"

Dann sags nicht nur, sondern beweise es. Wo ist der Fehler?

[usako]

Leider habe ich es noch nicht verstanden :-)
Wenn du mir plausibel erklären kannst, warum wechseln besser ist, und ich keine Gegenargumente mehr habe bekommst du 20 EUR von mir :-) Bar auffe Tatze in Berlin oder per Überweisung. 

Wir können o.B.d.A. (weil der Preis zufällig gleichverteilt versteckt wurde) annehmen, dass der Kandidant Tor 1 gewählt hat. Es gibt nun zwei Strategien, die der Kandidat verfolgen kann. Bleiben oder Wechseln.

Bleiben: Der Kandidat gewinnt den Preis genau dann, wenn er sich hinter Tor 1 befindet. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/3.
Wechseln: Der Kandidat gewinnt den Preis genau dann, wenn er sich hinter Tor 2 oder Tor 3 befindet. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 2/3.

Wechseln ist also besser. Wenn du noch Gegenargumente hast, dann bring sie bitte. Geld will ich übrigens nicht haben.

[trasla]

@trasla:

"Und außerdem falsch"

Dann sags nicht nur, sondern beweise es. Wo ist der Fehler?

Oh, stimmt, du hast doch recht, es ist nicht egal, nach welchem Grundsatz der Moderator handelt.
Sorry für die unbelegte Unterstellung!

[WonG.]

nc usako zu deiner korinthenkackerei... es ging nicht darum, das ganze hier juristisch eindeutig zu formulieren

Ich bin kein Jurist, sondern Mathematiker. Deswegen bin ich es gewohnt, Dinge absolut eindeutig zu formulieren. Und dass jeder das so verstanden hat, wie du es verstanden hast, ist schon einmal falsch wie eure Diskussion mit einem User zuvor gezeigt hat, der das Rätsel anders aufgefasst hat (und nach seiner Auffassung auch richtig gelegen hat, wenn ich mich jetzt nicht falsch erinnere).

schwach, dass du hier den allerhabenen spielst und deine rosinchen durch die gegend schmeißt, aber selbst nicht in der lage bist eindeutig zu formulieren, bzw. selbst auch eindeutige formulierungen überliest. niemand sprach von "allen", wenn du genau hinsiehst steht da ein "nahezu" davor, was in diesem zusammenhang so viel heißt, wie "der großteil". außerdem ist jeder normale mensch, der diese formulierung verstehen will, dazu in der lage. lediglich leute, die sich hier an unpräzisen formulierungen aufreiben und aufgeilen wollen, scheinen dazu nicht in der lage zu sein. aber wie gesagt, schlichtweg weil sie dazu nicht in der lage sein möchten.
außerdem kennen i.d.R leute, die diese frage richtig beantworten können, das ziegenproblem bereits. man benötigt also keinerlei fantasie, wie du es nennst, um die grundregeln dieses sachverhalts zu verstehen.

sprich, es ist irrelevant ob der showmaster IMMER tür 2 öffnet und ob IMMER eine niete herauskommt.

Nein, es ist durchaus relevant wie der Moderator sich verhält. Siehe dazu ein ähnliches Beispiel:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem#Der_faule_Moderator

nett wie du dinge aus dem zusammenhang reißen kannst. ich denke dir war selbst auch klar, dass sich diese aussage auf den einzelfall, unser sogenanntes "fallbeispiel" bezog. stell dich nicht dümmer als du bist!

1. kannst du tor 2 nicht wählen, wenn es bereits vom moderator geöffnet wurde (ja ich weiß, wurde explizit nicht gesagt, aber versteht sich von selbst. wo wäre sonst die spiellogik?)

Wie du selbst gesagt hast, wurde das nirgends genannt. Es wieder Fantasie und nicht Teil des Rätsels.

da sich auch dies auf DIESEN EEIINNEENN FALL (genug hervorgehoben, verständlich?) bezieht, ist das doch relativ logisch, jo. weil in DIESEN EEIINNEENN FALL wird tor 2 geöffnet und dahinter kommt eine niete zum vorschein. weshalb sollte nun der kandidat überhaupt auf tor 2 wechseln wollen? um die niete abzugreifen?

[usako]

niemand sprach von "allen", wenn du genau hinsiehst steht da ein "nahezu" davor, was in diesem zusammenhang so viel heißt, wie "der großteil".

Und du wirfst mir Korinthenkakerei vor, wo ich doch nur darauf hingewiesen habe, wie uneindeutig dieses Rätsel verstanden werden kann? Was man übrigens auch bei Wikipedia nachlesen kann (s.u.).

außerdem kennen i.d.R leute, die diese frage richtig beantworten können, das ziegenproblem bereits. man benötigt also keinerlei fantasie, wie du es nennst, um die grundregeln dieses sachverhalts zu verstehen.

Die das Ziegenproblem kennen, wissen häufig aber auch, dass der Teufel hier oft in der Formulierung des Rätsels selbst steckt. Siehe dazu zum Beispiel die Wikipedia-Seite:

http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem#Kontroversen
"[...] verdeutlichen die weiteren Argumente, dass das Originalproblem eine Vielzahl von Interpretationen zulässt"

nett wie du dinge aus dem zusammenhang reißen kannst.

Was ist da aus dem Zusammenhang gerissen? Genau darum ging es doch.

da sich auch dies auf DIESEN EEIINNEENN FALL (genug hervorgehoben, verständlich?) bezieht, ist das doch relativ logisch, jo. weil in DIESEN EEIINNEENN FALL wird tor 2 geöffnet und dahinter kommt eine niete zum vorschein. weshalb sollte nun der kandidat überhaupt auf tor 2 wechseln wollen? um die niete abzugreifen?

Naja, gut, SCHREIEN bringt dir da aber auch nichts. Es geht hier um eine mathematische Problemstellung und nicht darum, wer seinen Text am besten hervorheben kann. Vielleicht schaltest du mal einen Gang zurück, damit wir in Ruhe weiterreden können? Sag mir doch einfach mal konkret, wo deiner Meinung nach die Fehler in meinen Ausführungen liegen.

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@all: Mal ein anderes, aber ähnliches, Rätsel:

Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen bzw. ein Mädchen zu bekommen betrage jeweils 50%. Eine Familie hat 2 Kinder, eines davon ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch das andere Kind ein Mädchen ist?

[trasla]

Kommt drauf an.
Für den Fall, dass du mir von einem zufälligen Kind das Geschlecht verraten hast, ist die Wahrscheinlichkeit 1/2. Falls du aber bei Familien mit zwei Kindern unterschiedlichen Geschlechtes immer nur das Mädchen erwähnst, ist sie 1/3. Falls du immer den Jungen erwähnst, ist sie 1.

[usako]

Bekannt ist, dass die Familie 2 Kinder hat und bekannt ist auch, dass (mindestens) eines der Kinder ein Mädchen ist. (D.h. ich wähle nicht ein bestimmtes Kind aus, und sage dir dessen Geschlecht, sondern ich sage dir einfach nur dass die Anzahl der Mädchen >= 1 ist).

Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit auch das andere Kind ein Mädchen ist.

[trasla]

Bekannt ist, dass die Familie 2 Kinder hat und bekannt ist auch, dass (mindestens) eines der Kinder ein Mädchen ist. (D.h. ich wähle nicht ein bestimmtes Kind aus, und sage dir dessen Geschlecht, sondern ich sage dir einfach nur dass die Anzahl der Mädchen >= 1 ist).

Nun ist die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit auch das andere Kind ein Mädchen ist.

Dann sag ich mal 1/3.

[usako]

Stimmt genau. Viele antworten da intuitiv mit 1/2, ähnlich wie beim Ziegenproblem.