Kleine Knobelaufgabe:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 00 bzw. für das Auftreten der anderen Kombinationen
(mit und ohne obige Regelung).
Nimmt man "00" raus, dann ist die Wahrscheinlichkeit ziemlich genau 1/99 für jedes Ziffernpaar da für kryptographische Hashfunktionen vorausgesetzt wird, dass deren Resultat zufällig aussieht. Sowas wird vor deren Einführung von Kryptographen getestet.
Im anderen Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit für "00" etwa 0.0102 und für die anderen Ziffernpaare 0.01 - 0.0002/99. Alles unter der Annahme, dass ich mich nicht verprogrammiert habe und, daß der 0er-Präfix die Länge 19 hat und man beim Hashresultat die erste 19 Stellen damit ersetzen darf damit man kein Bitcoin-Hashen durchführen muss (ein bisschen gecheatet). Empirische Verteilung:
....
2% von 1% ist nicht viel aber mehr als 0%.
Eigentlich war ich zu faul, aber jetzt muss ich doch mal rechnen.
Um es vorwegzunehmen, ich komme auf dasselbe Ergebnis wie trantute2, allerdings relativiert sich das Ergebnis dramatisch wenn deutlich unter 100 Tipps abgegeben werden.Annahme (wie bei trantute2): die ersten 19 Stellen der Hashfunktion sind Nullen. Dann verbleiben 45 Stellen mit gleicher Wahrscheinlichkeit für die "hexadezimalen" Ziffern 0...f .
(a) Wir müssen jetzt berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass in diesen 45 Stellen mindestens 20 mal eine der Ziffern 0..9 auftritt. In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 00 genau so groß wie für alle anderen zweistelligen Ziffernkombinationen, nämlich 1% .
(b) Interessant ist auch, wie häufig in diesen 45 Stellen genau 19 mal die die Ziffern 0..9 gewürfelt werden. Dann hat man nänlich die Gewinnkombination 0x, mit x=0...9 . Das bedeutet alle die einen einstelligen Tip abgegeben haben sind bevorzugt.
(c) Und letztendlich, wie häufig tritt in den ersten 45 Stellen höchstens 18 mal eine Ziffer 0...9 auf? Das sind die Fälle in denen dann die 00 sicher gewinnt.
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Die obigen Wahrscheinlichkeiten werden durch die Binominalverteilung B(k,p,n) für n=45 Versuche, und k=19 Erfolgsfälle bei einer Wahrscheinlichkeit von p=10/16=0.625 für das Würfeln der Ziffern 0...9 beschrieben. Das kann man sich irgendwo im Netz ausrechnen lassen. Ich gebe hier nur mal die Wahrscheinlichkeiten an:
(a) B(k>19,p,n) = 0.99547
(b) B(k=19,p,n) = 0.00271
(c) B(k<19,p,n) = 0.00181
Damit wären dann die relativen Häufigkeiten für das Würfeln von:
P(xx) = 0.99547 * 10 * 0.01 + 0.00271 * 9 * 0.01 + 0.00181 * 9 * 0.01 = 0.09995
P(0x) = P(xx) + 0.00271 * 1 * 0.1 = 0.09995 + 0.00027 = 0.10022
P(00) = P(0x) + 0.00181 = 0.09995 + 0.00027 + 0.00181 = 0.10203
wobei x hier für eine der Ziffern 1...9 steht.
Damit wäre
die Häufigkeit von "00" um 2% größer (10203/09995=1.0208) als für "xx".
(dasselbe Ergebnis wie trantute2)die Häufigkeit von "0x" um 0.3% größer (10022/09995=1.0027) als für "xx".
An dieser Stelle ist nicht berücksichtigt, dass sich für k<18 der Wert für P(xx) weiter marginal reduziert.
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Eine 2% höhere Wahrscheinlichkeit für 00 ist nicht dramatisch und 0.3% für 0x ist wirklich marginal.
Das sieht jedoch anders aus, wenn man die von 1miau vorgeschlagene Regelung eintritt: - Wenn eine Zahl nicht belegt wurde und diese gewonnen hätte, wird im
Block-Hash die 11. bzw. 12. Zahl in Betracht gezogen.
Gegenwärtig sind ca 30% der Zahlen belegt. Ich gehe für folgende Rechnung mal davon aus, dass am Ende 50% der Zahlen belegt sind. Dann wird jede zweite der erfolgreich gewürfelten Kombinationen mit Ziffern von 0..9 verworfen, da sie nicht getippt wurde. Ich wiederhole deshalb die obige Rechnung einmal für die doppelte Zahl k=38 (2x19) von erfolgreich gewürfelten Dezimalziffern:
(a) B(k>38,p,n) = 0.000325
(b) B(k=38,p,n) = 0.000829
(c) B(k<38,p,n) = 0.998846
Damit wären dann die relativen Häufigkeiten für das Würfeln von:
P(xx) = 0.000325 * 10 * 0.01 + 0.000829 * 9 * 0.01 + 0.998846 * 9 * 0.01 = 0.09000325
P(0x) = P(xx) + 0.000829 * 1 * 0.1 = 0.09000325 + 0.0000829 = 0.09008615
P(00) = P(0x) + 0.998846 = 0.09000325 + 0.0000829 + 0.998846 = 1.08893215
Damit wäre die Häufigkeit von "00" ca. 12 mal größer (1.08893215/0.09000325) als für "xx".
An dieser Stelle müsste man dringend für die Fälle für k<38 noch weiter differenzieren, das heißt berücksichtigen ob 9x 8x oder weniger oft zweistellige Dezimalkombinationen gewürfelt werden. Dadurch erhöht sich die berechnete relative Häufigkeit für das Auftreten von 00 noch weiter.
Fazit: wenn deutlich weniger als 100% der verfügbaren Kombinationen getippt werden, tendiert die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 00 gegen 100%. Dies wird durch den Term (c) festgelegt, den ich hier mal für verschiedene Beteiligungen abgeschätzt habe:
Beteiligung K B(k<K,p,n)
100% 19 0.0018
90% 21 0.0104
80% 24 0.0786
70% 27 0.3052
60% 32 0.8509
50% 38 0.9988
Man kann auch abschätzen dass sich die Häufigkeit für das Auftreten von 0x für geringe Beteiligungen etwa verdoppelt.
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Ich plädiere nicht dafür dass die Regeln so modifiziert werden dass jeder die gleichen Gewinnchancen hat, das ist langweilig. Das Interessante ist ja gerade zu Überlegen wie man tippen soll um diese zu optimieren, und die Diskussionen darum herum.
Wichtig wäre noch dass 1miau festlegt wie verfahren wird, wenn dieselbe Zahlenkombination mehrfach auftritt. Wird der Betrag dann mehrfach an denselben Gewinner ausgezahlt, verfällt er oder wird dann auch die 11. bzw. 12. Zahl in Betracht gezogen.
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